习题 16, § 2

假设 $K$ 是$\mathbf{Q}$-代数。 If $g$ is 李代数, we denote by $U(g)$ its enveloping 代数, by $\sigma$ 典范映射 of $g$ into $U(g)$ and by $S(g)$ the symmetric 代数 of the $K$-module $g$。 There exists one and only one 线性映射

这样对于所有$x \in g$和所有$n \in \mathbf{N}$来说$\eta(g)(x^n) = \sigma(x)^n$。然后 我们建议证明 $\eta(g)$ 是双射的。

(a) 证明$\eta(g)$是满射，并且当$K$-模$g$自由时它是双射的（使用Poincaré–Birkhoff–Witt 定理）。

(b) 设$\mathfrak{h}$为$g$的理想。 令$s_\mathfrak{h}$（或$u_\mathfrak{h}$）表示由$\mathfrak{h}$（或$\sigma(\mathfrak{h})$）生成的$S(g)$（或$U(g)$的两侧理想）的理想。 图表

是可交换的并且它的行是精确的。 推导出$\eta(g)$下$s_\mathfrak{h}$的像$\tilde{u}_\mathfrak{h}$包含在$u_\mathfrak{h}$中，并且当$\eta(g)$和$\eta(g/\mathfrak{h})$单射时（特别是当模、$g$和$g/\mathfrak{h}$自由时）推论出$\tilde{u}_\mathfrak{h} = u_\mathfrak{h}$。

(c) 取$g$为具有基本族$(X_1, \ldots, X_n, H)$的自由李代数，其中$n \geq 0$，并取$h$为由$H$生成的$g$的理想。证明 $g$ 和 $g/h$ 是自由模。推断出，在这种情况下，$\tilde{u}_h = u_h$。特别地，存在$x \in s_h$使得$(\eta(g))(x) = \sigma(X_1) \ldots \sigma(X_n) \sigma(H)$。

(d) 我们回到一般情况。证明$u_h$是由形式$\sigma(x_1) \ldots \sigma(x_n) \sigma(h)$的元素在$K$上生成的，其中$n \geq 0$、$x_i \in g$和$h \in h$（注即$u_h$重合生成） $h$）。使用 (c) 显示这样的元素属于到 $\tilde{u}_h$（使用自由李代数的合适同态到 $g$）。推导出$\tilde{u}_h = u_h$。

(e) 证明，如果 $\eta(g)$ 是双射的，则 $\eta(g/h)$ 也是双射的。最后推断，对于每个李代数$g$，$\eta(g)$是双射的（将$g$写为自由李代数的商）并且典范同态

是同构（“Poincaré–Birkhoff–Witt 定理”对于李代数超过$\mathbf{Q}$-代数）。