习题 8, § 2

假设K是域。令 l 为具有基本族 $(\bar{x}_i)_{i \in I}$ 的自由李代数，令 r 为$[l, l]$ 中包含的 l 的理想，并令 g = $l/r$；让$x_i$表示g中$\bar{x}_i$的像。 显示以下属性的等价： (i) g 是一个自由的李代数。 (ii) g 承认$(x_i)$为基本族（即$r = \{0\}$）。 (iii) 对于每个 g 模 M，$H^2(g, M) = \{0\}$。 (iv) 如果 g 对 K 进行简单运算，则 $H^2(g, K) = \{0\}$。 （含义（ii）\Rightarrow（i）和（iii）\Rightarrow（iv）是显而易见的，（i）\Rightarrow（iii）从习题7得出。要证明（iv）\Rightarrow（ii），只需证明$r = [l, r]$，cf.习题5即可；否则取r的超平面h 包含于 $[l, r]$ 和注其中扩张 $r/h \to l/h \to l/r = g$ 是必不可少的。）