习题 4, § 3

假设K是特征$p > 0$的域。

(a) 令 H 为 A(X) 的谎言子代数 L(X) 的基。显示（使用同构 $U(L(X)) \to A(X)$ 和庞加莱–伯霍夫–维特定理）元素 $h^{p^n}$ ($h \in H, n \in \mathbf{N}$) 与 K 线性无关。

(b) 如果 m 为整数 $\geqslant 0$，则令 $L_m$ 表示 $A(X)$ 中的子模，其中基为 $h^{p^n}$，其中 $h \in H, n \leqslant m$。证明$L_m$是$A(X)$的谎言子代数，并且如果$a \in L_{m-1}$，则$a^p \in L_m$（通过归纳对m进行论证并使用Jacobson公式，cf.章I, § 1， 习题19)。推断$L_m$不依赖于H的选择，并且它是由$x^{p^n}$生成的$A(X)$的谎言子代数，其中$x \in X, n \leqslant m$。

(c) 令$L(X, p)$为$m \geqslant 0$的$L_m$的并。证明$L(X, p)$是最小的谎言$p$-$A(X)$包含X的子代数（cf.章I, § 1，习题20）；它承认基的家庭是$h^{p^n}$，其中$h \in H, n \in \mathbf{N}$。

(d) 令 $\tilde{U}(L(X, p))$ 为 $L(X, p)$、cf. 章 I, § 2、习题的受限包络代数 6. 证明$L(X, p)$ 的单射到$A(X)$ 可以扩展到$\tilde{U}(L(X, p))$ 的同构到$A(X)$。 （使用上面引用的Poincaré–Birkhoff–Witt 定理和习题。）推导出$L(X, p)$是$A(X)$、cf.§ 1、习题12的原语元素的集合。

(e) 令 $f$ 为 X 的映射成为李$p$-代数 g。证明$f$可以唯一地扩展到$p$同态$F : L(X, p) \to g$。 （首先将 $A(X)$ 的 $f$ 扩展到代数同态到 $\tilde{U}g$。）

（谎言$p$-代数$L(X, p)$被称为集合X上的自由谎言$p$-代数。）