习题 10, § 4

令$x, y$在$G$中，并令$r, s$是两个整数$\geq 1$。假设$(x^r, y^s) = e$。 (a) 证明，对于所有 $n \geq 1$，$(x, y)^{(rs)^n} \in C^{n+2} G$。 （可以假设$G$是由$\{x, y\}$生成的；然后应用习题 9 (b)，注意$(x^r, y^s) \equiv (x, y)^{rs}$ mod.$C^3 G$。） (b) 假设$x^r = y^s = e$；让 $t$ 表示 g.c.d。 $r$ 和 $s$。显示 $(x, y)^t \in C^3 G$ 并针对所有 $n \geq 1$ 推出 $(x, y)^{tn} \in C^{n+2} G$（同样的方法）。