习题 13, § 4

(a) 令$F$为自由群，基本族$\{\bar{x}, \bar{y}\}$有两个元素，令$c$为整数$\geq 2$，令$m$为整数$\geq 1$。我们写成$F^c = F/C^c F$，并用$F^c$中的$\bar{x}, \bar{y}$的$x, y$像来表示。令$F_m^c$为由$\{x^m, y\}$生成的$F^c$的子群。证明存在整数 $N \geq 0$，使得 $z^{m^N} \in F_m^c$ 对于所有 $z \in F^c$（使用习题 11）。 (b) 令$I^c$（或$I_m^c$）为由$y$生成的$F^c$（或$F_m^c$）的正常子群。证明，如果如上选择$N$和$z \in I^c$，则$z^{m^N} \in I_m^c$（注，$F^c/I^c$是无限循环群，生成元像为$x$，并推导出$F_m^c/I_m^c \to F^c/I^c$是单射）因此$I_m^c = F_m^c \cap I^c$）。特别是$xy^{m^N} x^{-1} \in I_m^c$。 (c) 假设 $G$ 幂零的。令$H$为$G$的子群，并令$L$为$H$的正常子群。令 $g \in G$ 并令 $m \geq 1$ 使得$g^m \in H$。证明，如果 $N$ 是足够大，则 $g l^{m^N} g^{-1} \in L$ 对于所有 $l \in L$。 （如果 $G$ 为类 $< c$、选择 $N$，如 (a) 中所示，并使用同态 $f : F^c \to G$ 使得 $f(x) = g, f(y) = l$；注 $f(F_m^c) \subset H, f(I_m^c) \subset L$ 并应用上面的 (b)。）