习题 18, § 4

群 $G$ 的*上中央级数* ($Z_iG$) 归纳定义如下： (i) $Z_iG = \{e\}$，如果$i \leqslant 0$； (ii) $Z_iG/Z_{i-1}G$ 是 $G/Z_{i-1}G$ 中的中心。 那么$\{e\} = Z_0G \subset Z_1G \subset \cdots$和$Z_1G$就是$G$的中心； $Z_iG$是$G$的特征子群。 (a) 证明$G$ 类 $\leq c$ 幂零当且仅当$G = Z_cG$。 (b) 证明$(C^nG, Z_mG) \subset Z_{m-n}G$。 (c) 假设$G$是幂零且$P$无扭（其中$P$是素数数、cf.习题14的集合）。证明 $Z_iG$ 是 $P$ 饱和的。 （对于$Z_1G$验证这一点就足够了；如果$n$是一个$P$整数并且$g \in G$使得$g^n \in Z_1G$，那么$xgx^{-1} = g^n$对于所有$x \in G$，从而$xgx^{-1} = g$ 习题 14 (c) 并得出 $g$ 属于至 $Z_1G$。）