习题 2, § 4

令$(G_\alpha)$为群G上的真实过滤，并令$v$为相应的阶函数。令 H 为 G 的子群。

(a) 令$H_\alpha = H \cap G_\alpha$。证明$(H_\alpha)$是H的真实过滤，并且相应的阶函数是$v$到H的限制。$H_\alpha^+ = H \cap G_\alpha^+$和$gr(H)$用$gr(G)$的分级子群来标识。

(b) 假设 H 是正规的，且 $v(G) \cap \mathbf{R}$ 是 $\mathbf{R}$ 的离散子集。我们写$(G/H)_\alpha = (G_\alpha H)/H$。证明 $((G/H)_\alpha)$ 是 $G/H$ 的真实过滤，并且相应的阶函数 $v_{G/H}$ 由公式给出

证明，对于所有 $\alpha \in \mathbf{R}$，有正合序列

(c) 根据(b)的假设，假设$(G_\alpha)$是中央过滤。证明 $(G_\alpha)$ 对$H$ 和$G/H$ 的过滤也是如此，并且李代数 $\operatorname{gr}(G/H)$ 与理想$\operatorname{gr}(H)$ 的$\operatorname{gr}(G)$ 商相同。