习题 8, § 4

设 $G = \mathbf{SL}_2(\mathbf{Z})$ 并设 $x = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, w = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。

(a) 验证公式$w^4 = 1, w = xy^{-1}x, wxw^{-1} = y^{-1}$。

(b) 如果$g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$是$G$的元素，我们写成$l(g) = |a| + |b|$。证明$l(g) = 1$当且仅当$g$是形式$y^n w^a$，其中$n \in \mathbf{Z}$和$0 \leqslant a \leqslant 3$。如果$l(g) \geqslant 2$，则表明存在$x$或$y$使得$l(gh) < l(g)$存在幂$h$。推出$G$是由$\{x, y\}$生成的。

(c) 使用 (a) 和 (b)，表明 $G/(G, G)$ 是由 $x$ 的像 $\xi$ 生成的，并且$\xi^{12} = e$。‡ 推导出 $C^n G = (G, G)$ 对应 $n \geqslant 2$。 （应用习题7）。