习题 1, § 5

让$F$的代数$K[F]$被赋予增广理想$I$（§ 4，习题6）的幂的过滤$(I^n)$由……组成。 (a) 设$\tilde{g}: K[F] \to \hat{A}(X)$为唯一代数同态延伸$g: F \to \hat{A}(X)^*$。将 $K[F]/I^n$ 的 同构的 $\tilde{g}_n$ 取商到 $\hat{A}(X)/\hat{A}_n(X)$ 时，证明 $\tilde{g}$ 映射 $I^n$ 到理想的 $\hat{A}_n(X)$ (cf. no. 1) 和定义。 （定义 $\tilde{g}_n$ 的逆同态通过 $A(X)$ 的同态转变成 $K[F]$，其中对于所有 $x \in X$，映射 $x$ 到 $x - 1$。） $\hat{A}(X)$ 同构于$(I^n)$定义的拓扑下$K[F]$的Hausdorff完成。 (b) 假设$K = \mathbf{Z}$。证明过滤 $(I^n)$ 是分离的（§ 4 的应用命题 3 和习题 6 (e)），并且由它定义的过滤$F$（§ 4 的习题 6 (a)）重合与过滤 $(C^nF)$。推断 $\tilde{g}: \mathbf{Z}[F] \to \hat{A}_\mathbf{Z}(X)$ 是单射的。