习题 10, § 5

令$p$为素数数，并令G为群，并具有真正的中心过滤$(G_\alpha)$。假设关系$x \in G_\alpha$蕴含$x^p \in G_{p\alpha}$，在这种情况下，过滤$(G_\alpha)$称为受限的。 (a) 证明与$(G_\alpha)$相关的李代数$\mathrm{gr}(G)$使得$p \cdot \mathrm{gr}(G) = 0$，因此可以在$\mathbf{F}_p$上给出代数结构。 (b) 设$\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$和$x$为$\xi$在$G_\alpha$中的代表。证明$\mathrm{gr}_{p\alpha}(G)$中$x^p$的像不依赖于$x$的选择（使用习题 9 (c)）。如果这个像用$\xi^{[p]}$表示，证明$\xi \mapsto \xi^{[p]}$是$\mathrm{gr}_\alpha(G)$到$\mathrm{gr}_{p\alpha}(G)$的线性映射以及$(\xi + \xi')^{[p]} = \xi^{[p]} + {\xi'}^{[p]} + \Delta_p(\xi, \xi')$。 （同样方法。）

证明，如果 $\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$ 和 $\eta \in \mathrm{gr}_\beta(G)$，则

（使用习题 9 (d)。）

(c) 表明存在且仅有一个 $\mathrm{gr}(G)$ 到自身的 $p$ 映射（章 I, § 1、习题 20），其中扩展映射 $\xi \mapsto \xi^{[p]}$ 定义在 $\mathrm{gr}_\alpha(G)$ 上。对于这个结构，$\mathrm{gr}(G)$是一个*李$p$*-代数，据说与受限过滤$(G_\alpha)$相关。