习题 12, § 5

令$g$为特征$p > 0$的域$k$之上的李代数。 (a) 设$h$为整数$\leq p - 1$。 $g$据说是满足*恩格尔的第h个条件*如果$(\mathrm{ad}\ x)^h(y) = 0$对于$g$的元素的每个有序对$(x, y)$。 表明这相当于

对于$g$中的$x_1, \ldots, x_h$（将$x_i$的公式$(\mathrm{ad}\ x)^h = 0$应用于线性组合）。

(b) 设$x, y$为$g$的元素，使得$\Lambda_p(ax, by) = 0$适用于$k$中的所有$a, b$。证明，如果$\Lambda_p^{r,s}$是二度$(r, s)$的$\Lambda_p$的双齐次分量，则对于每个有序对$(r, s)$，$\Lambda_p^{r,s}(x, y) = 0$。推断（取$r = p - 1, s = 1$）$(\mathrm{ad}\, x)^{p-1}(y) = 0$。特别是，如果$g$中的$x, y$有$\Lambda_p(x, y) = 0$，则李代数$g$满足恩格尔的$(p-1)$-第条件。

(c) 令 $c$ 为 $g$ 的中心。假设 $(\mathrm{ad}\, x)^p = 0$ 对于所有 $x \in g$。证明$g/c$满足恩格尔的$(p-1)$第条件。 （证明$g$中的$x, y$有$\Lambda_p(\mathrm{ad}\, x, \mathrm{ad}\, y) = 0$，并将(b)应用于李代数$\mathrm{ad}\, g = g/c$。）

(d) 令$G$为群，使得$x^p = 1$对于所有$x \in G$，并令$(G_\alpha)$为$G$的真正中央过滤。过滤$(G_\alpha)$是*受限*（习题10）并且$\mathrm{gr}(G)$是一个李$p$代数，其$p$-映射是零。推出$\mathrm{gr}(G)$满足恩格尔的$(p-1)$-第条件。\脚注{对于李代数满足恩格尔条件的性质及其在“受限伯恩赛德问题”中的应用，请参阅A. Kostrikin，* Izv。阿卡德。 Nauk SSSR*，23 (1959)，第 3–34 页。}