Bourbaki

习题 2, § 5

标签 0A5Q，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0A5Q]。

李群与李代数, II, 193

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令GG为群，令K[G]K[G]为其代数除以KK，并令II为其增广理想（§ 4，习题6）。让ε\varepsilon表示K[G]K[G]到KK的典范同态；然后Ker⁡(ε)=I\operatorname{Ker}(\varepsilon) = I。 (a) 令MM为左K[G]K[G]模，令Z(G,M)Z(G, M)为将GG的同态*交叉到MM的群 (代数, 章I, § 6， 习题7)。如果f∈HomK[G](I,M)f \in \mathrm{Hom}_{K[G]}(I, M)，设f1f_1是G到M的映射g↦f(g−1)g \mapsto f(g - 1)。证明f1f_1是交叉的同态（使用恒等式

gg′−1=g(g′−1)+g−1 gg' - 1 = g(g' - 1) + g - 1

证明f1(gg′)=g.f1(g′)+f1(g)f_1(gg') = g . f_1(g') + f_1(g)）并且f↦f1f \mapsto f_1是HomK[G](I,M)\mathrm{Hom}_{K[G]}(I, M)到Z(G,M)Z(G, M)的*同构*。

(b) 取 G 为自由群 F=F(X)F = F(X)。证明，对于每一个映射 θ:X→M\theta : X \to M，Z(M,F)Z(M, F) 中存在且仅有一个元素 fθf_\theta，其中扩展 θ\theta。 （使用 M 对 F 的半直接乘积的项中Z(F,M)Z(F, M) 的解释，cf. 代数，章 I，*loc. cit.*）使用 (a) 推断族 (x−1)x∈X(x - 1)_{x \in X} 是一个I的*基*作为左K[F]-模块。

(c) 由 (b) 每个元素 u∈K[F]u \in K[F] 都可以唯一地写成形式

u=ε(u)+∑x∈XDx(u)(x−1), u = \varepsilon(u) + \sum_{x \in X} D_x(u)(x - 1),

其中 Dx(u)∈K[F]D_x(u) \in K[F] 和 Dx(u)D_x(u) 是零，除了有限的数。 映射 u↦Dx(u)u \mapsto D_x(u) 被称为关于 x* 的*偏导数。它具有以下特性： (i) DxD_x 是 K[F] 到 K[F] 的 K-线性映射。 (ii) Dx(uv)=u.Dx(v)+ε(v).Dx(u)D_x(uv) = u . D_x(v) + \varepsilon(v) . D_x(u) 对于 K[F] 中的 u、v。 (iii) Dx(x)=1D_x(x) = 1 和Dx(y)=0D_x(y) = 0，如果 y∈X−{x}y \in X - \{x\}。 如果n⩾1n \geqslant 1，那么

Dx(xn)=1+x+⋯+xn−1 D_x(x^n) = 1 + x + \cdots + x^{n-1}
Dx(x−n)=−x−n−x−n+1−⋯−x−1. D_x(x^{-n}) = -x^{-n} - x^{-n+1} - \cdots - x^{-1}.

(d) 设εA\varepsilon_A为A(X)的典范同态到K上。证明A(X)的每个元素u可以唯一地写在形式中

u=εA(u)+∑x∈Xdx(u).x, u = \varepsilon_A(u) + \sum_{x \in X} d_x(u) . x,

其中 dx(u)∈A(X)d_x(u) \in A(X) 和 dx(u)d_x(u) 是零，除了有限的数。证明dx:u↦dx(u)d_x : u \mapsto d_x(u)是A(X)的自同态，可以通过连续性扩展到A^(X)\hat{A}(X)，并且具有类似于上面(i)、(ii)、(iii)的性质。显示 dx∘g~=g~∘Dxd_x \circ \tilde{g} = \tilde{g} \circ D_x，其中 g~\tilde{g} 是 K[F] 的同态到 A^(X)\hat{A}(X)，其中扩展 g (cf. 习题 1)。†

解答

尚未写出解答。

被以下引用

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。