Bourbaki

习题 3, § 6

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李群与李代数, II, 201

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让M(U,V)=H(−U,U+V)M(U, V) = H(-U, U + V)。然后

exp⁡(M(U,V))=exp⁡(−U)⋅exp⁡(U+V). \exp(M(U, V)) = \exp(-U) \cdot \exp(U + V).
令M1(U,V)M_1(U, V)（或H1(U,V)H_1(U, V)）表示级数MM（或HH）的双齐次项的和，其VV中的次数为1。

(a) 证明

M1(U,V)=∑n=0∞(−1)n(n+1)!(ad U)n(V)=(f(ad U))(V) M_1(U, V) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)!} (\mathrm{ad}\, U)^n(V) = (f(\mathrm{ad}\, U))(V)
其中f(T)=(1−e−T)/Tf(T) = (1 - e^{-T})/T。

（与命题 5 的证明相同。也可以通过使用恒等式将其简化为命题 5

exp⁡(U)⋅exp⁡(M(U,V))⋅exp⁡(−U)=exp⁡(H(U+V,−U)), \exp(U) \cdot \exp(M(U, V)) \cdot \exp(-U) = \exp(H(U + V, -U)),
与习题 1 一起。）

(b) 证明H(U,M(U,V))=U+VH(U, M(U, V)) = U + V。推断出

H1(U,M1(U,V))=V. H_1(U, M_1(U, V)) = V.
(c) 设g(T)=1/f(T)=1+T/2+∑n=1∞1(2n)!b2nT2ng(T) = 1/f(T) = 1 + T/2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} b_{2n} T^{2n}，其中b2nb_{2n}是*伯努利数*（*实变量*的函数，章VI, § 1, no. 4）。表明
H1(U,V)=(g(ad⁡U))(V)=V+12[U,V]+∑n=1∞1(2n)!b2n(ad⁡U)2n(V). H_1(U, V) = (g(\operatorname{ad} U))(V) = V + \frac{1}{2}[U, V] + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} b_{2n} (\operatorname{ad} U)^{2n}(V).
导出H1(U,V)H_1(U, V)的展开的前几个项：
H1(U,V)=V+12(ad⁡U)(V)+112(ad⁡U)2(V)−1720(ad⁡U)4(V) H_1(U, V) = V + \frac{1}{2}(\operatorname{ad} U)(V) + \frac{1}{12} (\operatorname{ad} U)^2(V) - \frac{1}{720} (\operatorname{ad} U)^4(V)
+130240(ad⁡U)6(V)−⋯ + \frac{1}{30240} (\operatorname{ad} U)^6(V) - \cdots
(d) 证明UU中的次数为1的H(U,V)H(U, V)的双齐次项的和为级数：
U+12[U,V]+∑n=1∞1(2n)!b2n(ad⁡V)2n(U). U + \frac{1}{2}[U, V] + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} b_{2n} (\operatorname{ad} V)^{2n}(U).
（将 (c) 应用于 H(V,U)H(V, U) 并使用习题 2 从 H(V,U)H(V, U) 传递到 H(U,V)H(U, V)。） (e) 令WW为另一个不确定，并令X(U,V,W)X(U, V, W)为H(U,V+W)H(U, V + W)的三齐次项的和，其WW中的次数为1。证明
X(U,H1(V,W))=H1(H(U,V),W). X(U, H_1(V, W)) = H_1(H(U, V), W).
（使用身份H(U,H(V,W))=H(H(U,V),W)H(U, H(V, W)) = H(H(U, V), W)。）推断
X(U,V,W)=(g(ad⁡H(U,V))∘f(ad⁡V))(W). X(U, V, W) = (g(\operatorname{ad} H(U, V)) \circ f(\operatorname{ad} V))(W).

解答

尚未写出解答。

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