习题 5, § 6

令 $g$ 为幂零李 $\mathbf{Q}$ 代数，我们将其赋予 Hausdorff 群运算，用 $(x, y) \mapsto x.y$ 表示。

(a) 证明，如果 $x \in g, y \in g$，则

（使用习题 2。）

(b) 设$\mathfrak{h}$为$g$的子集。证明$\mathfrak{h}$是$g$的谎言子代数（或理想）当且仅当它是群$g$的饱和子群（或饱和正常子群）。 （使用习题 4 (d) 中的公式从群运算传递到李代数律。）

(c) 设$\mathfrak{h}$为群$g$中的子群。证明 $\mathfrak{h}$ 的 $\mathbf{P}$ 饱和度为 $\mathbf{Q}.\mathfrak{h}$。

(d) 设$\mathfrak{h}$为$g$的谎言子代数。证明群 $g$ 中 $\mathfrak{h}$ 的集中器（或归一化器）是 $x \in g$ 的集合，使得 $(\mathrm{ad}\, x)(\mathfrak{h}) = 0$（或 $(\mathrm{ad}\, x)(\mathfrak{h}) \subset \mathfrak{h}$）。

(e) 显示李代数 $g$ 重合的下中央级数与群 $g$ 的下中央级数以及相关的分级李代数 $\mathrm{gr}(g)$ 与“群”点的视图相同从“李代数”点来看。