习题 4, § 3

(a) 令 q 为 $\mathbf{R}^3$ 上签名 (1, 2) 的二次形式。令 P 为 $m \in \mathbf{R}^3$ 的集合，使得 $q(m) > 0$。那么P就是两个不相交的凸锥C和$-C$的并。如果$s \in \mathbf{SO}(q)$，则$s(C) = C$和$s(-C) = -C$或$s(C) = -C$和$s(-C) = C$。令$\mathbf{SO}^+(q)$为$s \in \mathbf{SO}(q)$的集合，使得$s(C) = C$。那么$\mathbf{SO}^+(q)$是$\mathbf{SO}(q)$中指标2的$\mathbf{SO}(q)$的开法线子群。 (b) 将习题 3 中的方法、$\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ 中的定义态射和核 $\{I, -I\}$ 模仿到$\mathbf{SO}^+(q)$ 上。推论实李群$\mathbf{SO}^+(q)$与实李群$\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})/\{I, -I\}$同构的。

(c) 对于$(\xi, \eta) \in \mathbf{C}^2$和$(\xi', \eta') \in \mathbf{C}^2$，设$f((\xi, \eta), (\xi', \eta')) = \xi \overline{\xi'} - \eta \overline{\eta'}$。证明 $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ 的内自同构由 $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$ 映射 $\mathbf{SU}(f)$ 到 $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ 定义。