Bourbaki

习题 5, § 3

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李群与李代数, III, 374

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 E 为厄米特复数矩阵的实向量空间，具有 2 行和零迹的 2 个列。对于所有s∈SU(2,C)s \in \mathbf{SU}(2, \mathbf{C})，我们通过φ(s)(m)=sms∗\varphi(s)(m) = sms^*对E进行定义自同构φ(s)\varphi(s)。我们认同元素

(xy+izy−iz−x) \begin{pmatrix} x & y + iz \\ y - iz & -x \end{pmatrix}
E 的元素 (x,y,z)(x, y, z) R3\mathbf{R}^3。通过模仿习题 3 的方法，证明φ\varphi 是实李群 SU(2,C)\mathbf{SU}(2, \mathbf{C}) 的态射到实李群 SO(3,R)\mathbf{SO}(3, \mathbf{R}) 与核 {I,−I}\{I, -I\} 且SO(3,R)\mathbf{SO}(3, \mathbf{R}) 同构于SU(2,C)/{I,−I}\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}

解答

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