习题 7, § 3

(a) 令 G 为范数 1 的四元数的集合。这是实李群 $\mathbf{H}^*$ 的谎言子群，同胚于 $\mathbf{S}_3$，因此单连通，cf. 一般拓扑，章 XI。

(b) 令 E 为纯四元数的实向量空间，用 $\mathbf{R}^3$ 标识为

对于所有$g \in G$，我们通过$\varphi(g)q = gqg^{-1}$对E进行定义自同构$\varphi(g)$。证明$\varphi$是李群G的态射到实李群$\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$和核$\{1, -1\}$。推论李群$\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$与李群$G/\{1, -1\}$同构的。

(c) 让$\mathbf{C}$与$\mathbf{H}$的子域$\mathbf{R} + \mathbf{R}i$进行识别。将$\mathbf{C} \times \mathbf{H}$的映射$(\lambda, q) \mapsto q\lambda$转化为$\mathbf{H}$，使$\mathbf{H}$在$\mathbf{C}$上转化为向量空间，通过基$(1, j)$的选择与$\mathbf{C}^2$进行识别。对于所有$g \in G$，令$\sigma(g)$为由$\sigma(g)q = gq$定义的向量空间的自同构。证明$\sigma$是实李群$G$到实李群$\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$的同构。因此后者简单地由(a)连接。

(d) 对于$(q_1, q_2) \in G \times G$，令$\tau(q_1, q_2)$等于$\mathbf{H} = \mathbf{R}^4$自身的映射$q \mapsto q_1qq_2$。证明$\tau$是实李群$G \times G$的态射到实李群$\mathbf{SO}(4, \mathbf{R})$和核$N = \{(1, 1), (-1, -1)\}$，因此$\mathbf{SO}(4, \mathbf{R})$与$(G \times G)/N$同构的。