习题 8, § 3

Let $G$ be a finite-dimensional connected real Lie group and $M$ a finite-dimensional connected manifold of class $C^\infty$; let there be given a law of right operation of class $C^\infty$ of $G$ on $M$. 对于所有$x \in M$，令$\rho(x)$为相应的轨道映射。

(a) 为了使$G$在$M$上传递运算，对于所有$x \in M$，$L(G)$到$T_x(M)$的映射$T_e(\rho(x))$是满射是必要且充分的。 （要证明条件就足够了，请观察$M$中的每个$G$轨道都是开放的。）

(b) 假设$G$在$M$上传递运算。 我们认同 $M$ 具有齐次空间 $H|G$，其中 $H$ 是点 $x_0$ $M$ 的稳定子。 The action of $G$ on $M$ is called imprimitive if there exists a closed submanifold $V$ of $M$ of class $C^\infty$ such that $0 < \dim V < \dim M$ and for which every transform $V_s$ (where $s \in G$) is either equal to $V$ or disjoint from $V$. 为此，存在$G$的谎言子群$L$使得$H \subset L \subset G$和$\dim(H) < \dim(L) < \dim(G)$是必要且充分的。 如果不是这样，则$M$上$G$的作用称为原始；为此，在$L(G)$和$L(H)$之间不存在$L(G)$的子代数并且与$L(G)$和$L(H)$不同就足够了。

(c) 在(b)的假设下，令$\mathscr{L}$为与$G$的作用相关的无穷小运算的律下的$L(G)$的像。设$\mathscr{E}$为$M$上类$C^\infty$函数代数和$\mathfrak{m}$$\mathscr{E}$上函数$\mathscr{E}$由……组成的最大理想，即零在$x_0$；我们用$\mathscr{L}_p$来表示$x \in \mathscr{L}$的$p = -1, 0, 1, 2, \ldots$集合，使得$\theta(X)f \in \mathfrak{m}^{p+1}$代表所有$f \in \mathscr{E}$；那么$\mathscr{L}_{-1} = \mathscr{L}$和$\mathscr{L}_0$就是$L(H)$在无穷小运算的律下的像。如果$(U, \phi, \mathbf{R}^n)$是以$x_0$为中心的$M$的图表，并且$X_1, \ldots, X_n$是由图表定义的$U$上的向量域，则$\mathscr{L}_p$的元素是$a_1X_1 + \cdots + a_nX_n$ $a_1, \ldots, a_n$在$\mathfrak{m}^p|U$。显示 $[\mathscr{L}_p, \mathscr{L}_q] \subset \mathscr{L}_{p+q}$ （按照约定 $\mathscr{L}_{-2} = \mathscr{L}$）。如果存在$Y \in \mathscr{L}_p$（对于$p \geq 0$）使得$Y \notin \mathscr{L}_{p+1}$，则存在$x \in L$使得$[Y, X] \notin \mathscr{L}_p$。 $\mathscr{L}_p$ 是 $\mathscr{L}$ 的谎言子代数。对于$p \geq 0$，$\mathscr{L}_p$是$\mathscr{L}_0$的理想。令$\rho$为$H$在$T_{x_0}(M)$上的规范线性表示。 $H/(Ker \rho)$的李代数与$\mathscr{L}_0/\mathscr{L}_1$同构的。

(d) 进一步假设$\mathscr{L}_p$中的交是$\{0\}$。那么存在最大的指标 $r$，使得$\mathscr{L}_r \neq \{0\}$和指标 $\leq r$的所有$\mathscr{L}_j$是不同的。 $p \geq 0$，

(e) 如果 M 是解析的且 G 对 M 进行解析运算，则满足 (d) 的假设。