习题 11, § 4

(a) 对于 $S_{2n-1} \subset \mathbf{C}^n$ 中的 $x, y$，我们定义 $\alpha(x, y) \in (0, \pi)$

对于$\mathbf{U}(n)$中的s、t，我们写为$d(s, t) = \sup_{x \in S_{2n-1}} \alpha(sx, tx)$。证明d是$\mathbf{U}(n)$上的左右不变距离。

(b)设$s \in \mathbf{U}(n)$。令$\theta_1, \ldots, \theta_m$为$]-\pi, \pi]$中的数，使得$e^{i\theta_j}$是s的不同特征值。让$\theta(s) = \sup_{1 \leq j \leq m} |\theta_j|$。然后$d(e, s) = \theta(s)$。 （令 $V_j$ 为 s 相应的至 $e^{i\theta_j}$ 的本征空间。对于 $x \in S_{2n-1}$，通过相对于 $V_j$ 分解找到下界至 $\Re((x|sx))$。）

(c) 设 s, t 在 $\mathbf{U}(n)$ 中，使得 $\theta(t) < \frac{\pi}{2}$ 且 s 与 (s, t) 交换。然后 s 和 t 通勤。 （在（b）的记号中，令$V_j'$为$V_j$和$W_j = t(V_j)$的正交补充；证明$W_j = (W_j \cap V_j) + (W_j \cap V_j')$，然后证明$W_j \cap V_j' = \{0\}$。）

(d) 证明在$\mathbf{U}(n)$中存在e的紧邻域V，其性质为习题10，在$\mathbf{U}(n)$的内自同构下是稳定的，并且如果$x, y$是不可置换的元素 $V$ 则 $x$ 和 $(x, y)$ 不可置换。 （使用 (c)。）

(e) 令 $\beta$ 为 $\mathbf{U}(n)$ 的归一化哈尔测度。令$V_1$为$\mathbf{U}(n)$中$e$的对称紧邻域，使得$V_1^2 \subset V$。令$p$为整数，使得$\beta(V_1) > 1/p$。证明，对于 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ 的每个有限子群 $F$，都存在 $F$ 的交换范式子群 $A$，使得 $\mathrm{Card}(F/A) \leq p$（Jordan 的定理）。 （约化对应于$F \subset \mathbf{U}(n)$的情况。将$A$视为由$F \cap V$生成的$F$的子群并使用（d）。）