习题 13, § 4

让 $\mathbf{R}^n$ 被赋予通常的标量乘积 $((\xi_i), (\eta_i)) \mapsto \sum_{i=1}^n \xi_i \eta_i$。令$I(n)$为$\mathbf{R}^n$的等距仿射变换的群。它与 $\mathbf{GL}(n+1, \mathbf{R})$ 由……组成矩阵的谎言子群典型同构

其中$U \in \mathbf{O}(n)$和$x$是$\mathbf{R}^n$的任意元素（型$(n, 1)$的矩阵）。 $I(n)$可以通过$\mathbf{O}(n)$的典范嵌入定义的$\mathbf{R}^n$与$\mathbf{O}(n)$的半直接乘积识别为$\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$（矩阵$S$则表示为$(U, x)$）。设 $p : I(n) \to \mathbf{O}(n)$ 为典范满射，其中核 $\mathbf{R}^n$。

(a) 令$\Gamma$为$I(n)$的离散子群。 考虑$\mathbf{O}(n)$中$p(\Gamma)$的闭包$\overline{p(\Gamma)}$。 证明它的恒等分量是可交换的。 （令 $V$ 为 $\mathbf{O}(n)$ 中 $I$ 的邻域，具有习题 11 (d) 的属性，并且对于所有 $U \in V$，还有 $\|U - I\| \leq \frac{1}{4}$（$\mathrm{End}(\mathbf{R}^n)$ 上的范数源自欧氏范数） $\mathbf{R}^n$）。 通过反证法进行论证，假设存在$S_1 = (U_1, x_1), S_2 = (U_2, x_2)$使得$U_1$和$U_2$属于到$V$且不可交换。 证明 $(S_1, S_2) = ((U_1, U_2), y)$ 与

然后通过$S_k = (S_1, S_{k-1})$归纳定义$S_k$得到$k \geq 3$。使用$V$的选择，证明这个序列有无穷多个不同的项，并且有界于$I(n)$，这是荒谬的。）

(b) 如果 $I(n)/\Gamma$ 是紧致的，则 $\Gamma$ 称为“晶体学”。证明如果是这样，对于所有$x \in \mathbf{R}^n$，由$\Gamma x$生成的$\mathbf{R}^n$的仿射子空间$L$等于$\mathbf{R}^n$。 （否则，对于所有$y \in \mathbf{R}^n$，$\Gamma y$的所有点与$L$的距离相同，并且由于该距离可以任意大，$I(n)/\Gamma$不是紧凑的。）

(c) 如果 $\Gamma$ 是交换律且是晶体学的，则 $\Gamma \subset \mathbf{R}^n$。 （如果$S = (U, x) \in \Gamma$使得$U$下点不变量的向量子空间$V \subset \mathbf{R}^n$由……组成不等于$\mathbf{R}^n$，且$V^\perp$表示子空间的正交$V$，那么，对于所有 $S' = (U', x') \in \Gamma$，$U'$ 使 $V$ 和 $V^\perp$ 保持稳定。 另一方面，由于 $U|V^\perp$ 没有非零不变量点，证明这允许我们通过改变原点来假设 $x \in V$，存在。 $S'' = (U', x') \in \Gamma$使得$x'$在$V^\perp$上的正交投影$y'$为$\neq 0$ 通过用公式$S = S''S{S'}^{-1}$评估$Sx'$，推导出$U.y' = y'$与定义 / $V$。）

(d) 如果$\Gamma$是晶体，$\Gamma \cap \mathbf{R}^n$是秩$n$的自由交换群，$\Gamma/(\Gamma \cap \mathbf{R}^m)$是有限群（比伯巴赫的定理）。 （令$W$为由$\Gamma \cap \mathbf{R}^n$生成的$\mathbf{R}^n$的向量子空间。 紧凑的群 $\bar{p}(\Gamma)$ 只有有限的数个连通分量。 若$W = \{0\}$，$\Gamma$包含，则由(a)可得有限指标$\Gamma_1$的交换正态子群； $\Gamma_1$ 是晶体学的，这意味着与 (c) 矛盾。 因此$W \neq \{0\}$。 证明 $\bar{p}(\Gamma)$ 使得 $W$ 稳定并且 $\bar{p}(\Gamma)|W$ 是有限的；否则，$\Gamma$中将存在序列$(S_m)$，这样如果$S_m = (U_m, x_m)$，$U_m$是不同的，并且倾向于$I$；然后形式$(I, a_j)S_m(I, a_j)^{-1}S_m^{-1}$，其中$(a_j)$是$\Gamma \cap \mathbf{R}^n$的基，并得到与假设的矛盾，即$\Gamma$是离散的。 最后，要查看$W = \mathbf{R}^n$，请证明$\Gamma$在$\mathbf{R}^n/W$上的作用将是晶体群包含无翻译$\neq 0$。）