Bourbaki

习题 5, § 4

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李群与李代数, III, 377

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设(e1,e2,e3)(e_1, e_2, e_3)为R3\mathbf{R}^3的典范基。我们给出R3\mathbf{R}^3幂零李代数结构gg使得[e1,e2]=e3, [e1,e3]=[e2,e3]=0[e_1, e_2] = e_3,\ [e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0。令cijkc_{ijk}表示gg相对于基(e1,e2,e3)(e_1, e_2, e_3)的结构常数。

(a) 证明在 R3\mathbf{R}^3 上微分形式

ω1=dx1,ω2=dx2,ω3=−x1dx2+dx3 \omega_1 = dx_1,\quad \omega_2 = dx_2,\quad \omega_3 = -x_1 dx_2 + dx_3
满足关系
dωk=−∑i<jcijkωi∧ωj(k=1,2,3) d\omega_k = -\sum_{i < j} c_{ijk} \omega_i \wedge \omega_j \qquad (k = 1, 2, 3)
并且在R3\mathbf{R}^3的每个点处线性独立。

(b) 推断在R3\mathbf{R}^3中开邻域为0时，存在李群胚芽结构GG使得L(G)=gL(G) = g和

(a1,a2,a3)(x1,x2,x3)=(x1+a1,x2+a2,x3+a3+a1x2) (a_1, a_2, a_3)(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + a_1, x_2 + a_2, x_3 + a_3 + a_1 x_2)
对于 (a1,a2,a3), (x1,x2,x3)(a_1, a_2, a_3),\ (x_1, x_2, x_3) 足够接近 0。证明事实上公式 (1) 定义李群结构在 R3\mathbf{R}^3 上。

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