习题 6, § 4

令$G$为有限维李群，$g$其李代数，$g^*$$g$的对偶向量空间，$\sigma$$G$在$g$上的伴随表示以及$g^*$ 上的 $G$ 的$\rho$ 表示对于所有 $g \in G$ 由 $\rho(g) = {}^t \sigma(g)^{-1}$ 定义。

(a) $L(\rho)(x) = -{}^t(\mathrm{ad}\ x)$ 对于所有 $x \in g$。

(b)设$f \in g^*$。令$G_f$表示$G$中$f$的稳定子；这是$G$的谎言子群，并且$g_f = L(G_f)$是$x \in G$的集合，使得${}^t(\mathrm{ad}\ x)f = 0$。

(c) 对于$g$中的$x,\ y$，我们写为$B_f(x, y) = f([x, y])$。证明$B_f$在$g$上是交错的双线性形式，$g$到$g^*$的映射$s_f$与$B_f$相关联是映射$x \mapsto {}^t(\mathrm{ad}\ x)f$并且$g$相对于$B_f$的正交是$g_f$。让$\beta_f$表示经过商时从$B_f$导出的$g/g_f$上的非简并交错的双线性形式（因此是偶数维数）。我们用$\beta_f'$表示$(g/g_f)^*$上$B_f$的逆形式。

(d) 令$\Omega$表示$g^*$上$G$的轨道；我们给它流形结构从 $G/G_f$ 上通过结构的迁移推导出来，其中 $f$ 是 $\Omega$ 的任意点。然后$G$对左边的$\Omega$进行解析运算。令 $D$ 为无穷小运算的关联律。对于所有 $a \in g$ 和所有 $f \in \Omega$，

子空间 $T_f(\Omega)$ 是 $s_f$ 的像，即 $g^*$ 中 $g_f$ 的正交，并且与 $(g/g_f)^*$ 规范地一致，因此 $s_f$ 定义典范同构 $T_f(\Omega)$ 的 $r_f$ 到其对偶上。 域$f \mapsto \beta_f'$是次数2在$\Omega$上的解析微分形式$\omega$，在$G$下不变。对于$f \in \Omega,\ a \in g,\ b \in g,\ \omega(D_a(f), D_b(f)) = f([a, b])$。

(e) 证明$d\omega = 0$。

(f) 如果$\alpha$是$\Omega$上次数1的微分形式，同构$r_f$允许我们用向量域计算认同$\alpha$。令$A$为$\Omega$上的解析函数与$K$中的值的集合。对于$A$中的$\phi, \psi$，我们写为$[\phi, \psi] = \omega(d\phi, d\psi) \in A$。证明 $A$ 因此有李代数结构。

(g) 对于所有$a \in g$，令$\psi_a$为函数$f \mapsto f(a)$在$\Omega$上。证明$a \mapsto \psi_a$是$g$的同态到李代数$A$，并且形式$d\psi_a$通过同构$r_f$与向量域进行识别$D_a$。

(h) 令$U$为$g^*$的开子集，且$\phi$为$U$的解析函数。对于所有$f \in U$，$\phi$在$f$处的微分$d_f \phi$可通过$g$的元素来识别。假设$X\phi = 0$对于向量域$X$由$G$的作用在$g^*$上定义。然后证明，对于 $g_f$ 的所有 $f \in U$、$d_f \phi$ 属于到中心。

(i) 对于所有$f \in g^*$，我们写为$r_f = \dim g_f$。让$r = \inf_{f \in g^*} r_f$。证明$f \in g^*$的集合$V$使得$r_f = r$在$g^*$中是开且稠密的。证明，对于所有 $f \in V$，$g_f$ 是可交换的。 （$f$的邻域中（h）的构造$r$函数$\phi$满足条件，并且使得它们在$f$处的微分是线性独立的。）