习题 9, § 4

设 G 为维数 n 的 K 上的紧李群。假设李代数 L(G) 很简单。对于所有 g ∈ G，G 中 e 的每个整数 m ≥ 1 和每个邻域 V，设 M(g, m, V) 表示形式 $\prod_{i=1}^m x_i(y_i, g)x_i^{-1}$ 的 G 元素集合，其中 $x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_m$ V。

(a) 证明如果g是扶正器不开的G的元素，如果m是整数≥n并且V是e的邻域，则M(g, m, V)是e的邻域。 （存在 $a \in L(G)$ 使得 $(\mathrm{Ad}\,g)(a) \neq a$。令 φ 为 G 的指数映射。令 y 为 1 在 0 到 $\lambda \mapsto (\phi(\lambda a), g)$ 的切线映射下的像（其中 $\lambda \in K$）。然后 $b = (\mathrm{Ad}\,g - 1)(a) \neq 0$。存在 $x_1, \ldots, x_m$ V使得$\{(\mathrm{Ad}\,x_1)(b), \ldots, (\mathrm{Ad}\,x_m)(b)\}$包含基L(G)考虑映射。

将 $G^{2m}$ 代入 G。证明 $(x_1, \ldots, x_m, e, \ldots, e)$ 处的切线映射是满射。）

(b) 设U为G中e的邻域。设m为整数≥1。存在G的元素g，其扶正器不开，使得$M(g, m, G) \subset U$。 （利用 G 的紧性通过反证法进行论证。）

(c) 设 G' 是 K 上的紧李群，而 K 的李代数是简单的。设$\phi : G \to G'$是抽象群的双射同态。那么$\phi$是连续的。 （将（b）应用于G'并将（a）应用于G。）