习题 7, § 7

在这个习题中，让$v_2(a)$表示整数$a$的2-adic估值。

(a) 令 $\Gamma$ 为 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ 的有限子群。 证明存在一个正定二次方程形式，系数在$\mathbf{Z}$，在$\Gamma$下不变。 Deduce (by the same argument as in Exercises 4 and 5) that, for all sufficiently large $p$, $\Gamma$ is isomorphic to a subgroup of an orthogonal group $\mathbf{O}(n)$ over the field $\mathbf{F}_p$ (resp. a subgroup of $\mathbf{SO}(n)$ if $\Gamma$ is contained in $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$).

(b) 假设$\Gamma$包含在$\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$中，并令$2^e$表示2除$\Gamma$的阶的最大的幂。证明，如果 $n$ 是奇数，则 $2^e$ 除都是整数

对于足够大质数$p$。 （使用 (a) 和 代数、章 IX, § 6 的习题 13。）

证明，如果 $n$ 是偶数且 $p$ 是足够大素数，则 $2^e$ 除的 l.c.m. $b_n(p)$ / 整数

（与$n$奇数相同的方法。） (c) 根据 (b) 的假设，我们写 设$A$为整数$\geqslant 3$。证明 $2^{r(2, n)-1}$ 是 2 的最大的幂，其中除是 $p \geqslant A$ 的所有 $b_n(p)$。 （与习题 6 中的方法† 相同；使用素数数 $p \geqslant A$ 的存在性使得 $p \equiv 5 \pmod{8}$。）推导出不等式 $e \leqslant r(2, n) - 1$。 (d) 相反，令$C_n$为由置换矩阵和系数为$\pm 1$的对角线矩阵生成的$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$的子群。 $C_n$的阶是$2^{nn!}$和$v_2(2^{nn!}) = r(2, n)$。如果$\Gamma_{2, n}$表示$C_n$与$\mathbf{SL}(n, \mathbf{Z})$的Sylow 2群的交，则推导出$\Gamma_{2, n}$的阶为$2^{r(2, n)-1}$。