习题 39, § 9

设 G 是有限维连通的实李群，H 是 G 的积分子群以及 G 中的闭包 $\overline{H}$。假设 H 有性质 (F) (习题 38)。

(a) 设 $x \in \overline{H}$。然后$\mathrm{Ad}_{L(G)}x$离开$L(H)$稳定（no. 2，命题.5）；令$u(x)$为其限制至$L(H)$。然后$u(\overline{H}) = \mathrm{Ad}_{L(H)}(H)$。 （观察$\mathrm{Ad}_{L(H)}(H)$在$u(\overline{H})$中是稠密的，并应用性质（F）。）

(b) 设C为$\overline{H}$的中心。那么$\overline{H} = C.H$和C就是H的中心的闭包。（根据（a），如果$x \in \overline{H}$，则存在$y \in H$使得$\mathrm{Ad}_{L(H)}x = \mathrm{Ad}_{L(H)}y$。那么$\mathrm{Ad}(x^{-1}y)$是$L(H)$上的恒等式，因此有$x^{-1}y \in Z_{\overline{H}}(H)$和$x \in Z_{\overline{H}}(H).H$。根据连续性， $Z_{\overline{H}}(H)$ 等于C，群 C 在 $\overline{H}$ 中闭合，因此在 G 中$\overline{C} \cap \overline{H} \subset C$。 $x \in C$ 存在序列 $(x_n)$，使得 $x_n$ 趋于 x。 $\mathrm{Ad}_{L(H)}x_n$趋于1，因此H中存在序列$(y_n)$，使得$y_n$趋于e且$\mathrm{Ad}_{L(H)}y_n = \mathrm{Ad}_{L(H)}x_n$，则$y_n^{-1}x_n \in C \cap H$和$y_n^{-1}x_n$趋于x。）

(c) $H = \overline{H}$ 当且仅当 H 的中心在 G 中闭。（使用 (b)。）