习题 14, § 1

令 $(W, S)$ 为 Coxeter 系统，并令 $(\Gamma, f)$ 为其 Coxeter 图。设$k$为整数$\geqslant 3$。如果$a$是$\Gamma$的边，如果$f(a) \neq \infty$则放置$f_k(a) = f(a)$，如果$f(a) = \infty$则放置$f_k(a) = k$。令 $(W_k, S)$ 为 Coxeter 系统，其 Coxeter 图等于 $(\Gamma, f_k)$（第 V, § 4, no. 3 章，Prop. 4 的 Cor.）。证明从 $W$ 到 $W_k$ 存在唯一同态 $\varphi_k$，可诱导 $S$ 上的恒等性。证明如果$k$ 除 $k'$，则从$W_{k'}$到$W_k$存在唯一同态$\varphi_{k,k'}$，使得$\varphi_k = \varphi_{k,k'} \circ \varphi_{k'}$。证明 $W_k$ 从 $W$ 到射影极限的同态 $(\varphi_k)$ 是单射的（使用练习 13) c))，但一般不是满射的（对于例，在无限二面角群的情况下）。*