习题 18, § 1

令 $A$ 为公寓（练习 15）。 $A$的折叠是$A$的自同态$\pi$，使得$\pi^2 = \pi$，并且使得$A$的每个室在0或2个室的$\pi$下是像。

a) 设$\pi$是$A$的折叠，$C$是$A$的一个室，这样$\pi(C) = C$。对于$C$的任何相邻房间$C'$，$\pi(C') = C'$或$\pi(C') = C$；如果$a \in C$我们有$\pi(a) = a$。证明，如果 $(C_0 = C, C_1, \ldots, C_n)$ 是一个画廊，则所有 $i$ 的 $\pi(C_i) = C_i$ 或 $(C_0, \pi(C_1), \ldots, \pi(C_n))$ 都不是最小的（事实上有两个连续的相等的室）。推断任何四肢在$\pi$下不变的最小画廊在$\pi$下不变。如果$(C = C_0, C_1, \ldots, C_n)$是一个最小画廊，并且如果$\pi(C_n) \neq C_n$，则存在指标$i$和$0 \leq i < n$，使得$\pi(C_j) = C_j$代表$0 \leq j \leq i$，$\pi(C_j) \neq C_j$代表$i < j \leq n$。

b) 令$C_1$和$C_2$是两个不同的相邻室，$\pi, \pi'$是$A$的两个折叠。假设$\pi(C_0) = C_1$和$\pi'(C_1) = C_0$。令$C$为一个腔室，并考虑以下三个条件：

证明 $(1) \implies (2) \implies (3)$ 并推断出三个条件是等价的。 Show that $\pi$ (resp. $\pi'$) is the unique folding of $A$ taking $C_2$ (resp.

C₁）到C₁（分别为C₂）（假设满足（2），并让（C₁，C₂'，...，Cₙ' = C）成为一个最小画廊：表明π'(C'_{j+1}) 是与 π'(C'_j) 和包含面板 π'(C'_j ∩ C'_{j+1})) 不同的独特室。证明 A 的集合 $\mathscr{T}$ 的 π($\mathscr{C}$) 和 π'($\mathscr{T}$) 形式划分以及对于所有 a ∈ π(A) ∩ π'(A) π(a) = π'(a) = a。证明从 A 到自身的映射重合与 π' 在 π(A) 上以及 π 在 π'(A) 上是 A 的对合自同构。称为相对于面板 C₁ ∩ CΜ 的反射。证明它是 A 中唯一非平凡的自同构，且 C₁ ∩ Cι 的所有点保持固定（使用练习 15 b)）。

c) 假设 A 是与 Coxeter 系统 (W, S) 关联的公寓，并保留 Exerc 的记号。 16. 令C₁和C₂为两个相邻的室，并令t为T的元素，使得壁L_t是C₁∩C2的支撑。令 M_j 为由 L_t 和包含 C_j 确定的 A 的一半（对于 j = 1, 2）。证明映射 π 由 π(a) = a 定义，如果 a ∈ M₁，并且 π(a) = t(a) 如果 a ∈ M2 是 A 的折叠，使得 π(C₂) = C₁ 并且相对于面板 C₁ ∩ C₂ 的反射为映射a↦t(a)。