习题 19, § 1

设 A 为公寓。假设，对于任何两个不同的相邻室 C₁ 和 C₂，存在 A 的折叠（练习 18），其中 C₁ 到 C₂。令 C 为 A 的一个室，且 (C_i)_{i∈I} 为邻近 C 且与 C 不同的室族。用 s_i 表示相对于面板 C ∩ C_i 的反射（练习 18 b））。将 S = {s_i | i ∈ I} 并用 s_i 生成的 A 的自同构的 W 群表示。

a) 证明，对于任意室 C'，存在 w ∈ W 使得 C' = w(C)（通过 d(C, C') 上的归纳论证）。

b) 证明 (W, S) 是 Coxeter 系统 （对于 i ∈ I，将

其中$\pi_i$是C_i到C的折叠，证明满足命题6的假设：证明条件(C')、注若w ∈ P_{s_i}且ws_j ∉ P_{s_i}，则

由于 w(C) 和 ws_j(C) 相邻，因此 s_i = ws_j w^{-1} (Exerc. 18 b))。

c) 令 F 为腔室 C 的一个面。证明 W 中 F 的稳定子 W_F 由 s_i ∈ S 生成，使得 F ⊂ C ∩ C_i （令 w ∈ W_F 且 l_S(w) > 1 且让 i ∈ I 使得 w = s_i w' 且 l(w') = l(w) - 1；根据命题 6， w' ∈ P_{s_i}，因此 w(C) ⊂ s_i \pi_i(A), F ⊂ \pi_i(A) ∩ s_i \pi_i(A) 且 s_i ∈ W_F)。特别是，当且仅当 w = 1 时，w(C) = C。

d) 证明映射 a ↦ W_{\{a\}} 是从公寓 A 到与 (W, S) 相关的公寓的同构（练习 16），与 W 的作用兼容。