习题 21, § 1

令 (W, S) 为 Coxeter 系统，A 为相关公寓（cf. Exerc. 16，其中我们保留记号）。

a) 表明存在 A 的唯一编号（称为规范编号），其中面 F 的型是 Exerc 中定义的编号。 16c）。我们将始终认为 A 配备有此编号。

b) 证明 A 的允许自同构是 W 的运算。

c) 令 D 为至少一个室的包含中的子集。证明以下条件是等价的： (i) D 是 A 的一半（练习 16 g）的交，即包含 D； (ii) D 是凸的； (iii) 每当 D 中包含两个面 $F_1$ 和 $F_2$ 时，$F_1 \cup F_2$ 的凸包也包含在 D 中； (iv) 只要室$C_1$和面F包含在D中，并且$(C_1, \ldots, C_n)$是最小长度的画廊，使得$F \subset C_n$，我们就有$C_i \subset D$对应$1 \leq i \leq n$。

（要证明 (iii) $\Longrightarrow$ (iv)，请使用练习 15 b）。为了证明 (iv) $\Longrightarrow$ (i)，用反证法论证。令$D'$为包含D的一半的交；让$a \in D' - D$，让$C_0$是包含在D中的一个房间，让$(C_0, C_1, \ldots, C_n)$是最小的长度的画廊，这样$a \in C_n$。那么对于所有 j 来说都是$C_j \subset D'$。证明存在整数 $j$ 和 $0 \leq j < n$ 使得 $C_j \subset D$ 和 $C_{j+1} \notin D$。令 M（分别为 $M'$）为由面板支撑壁 $C_j \cap C_{j+1}$ 和包含 $C_j$（分别为 $C_{j+1}$）确定的 A 的一半。显示$D \notin M$。令$b \in D \cap (A - M)$和$\Gamma = (C_j, C'_1, \ldots, C'_p)$成为最小的可能的长度的画廊，使得$b \in C'_p$。然后$C'_k \subset D$代表$1 \leq k \leq p$和$C'_p \subset M'$。令 $\pi$ 为 A 与像 $M'$ 的折叠（练习 18 c））：则 $\pi(C_j) = C_{j+1}$ 并且画廊 $\pi(\Gamma)$ 不是单射的（练习 18 a））。如果$\Gamma' = (C_{j+1}, C'_2, \ldots, C'_{p-2}, C'_p)$是通过压制两个相等的连续腔室之一从$\pi(\Gamma)$获得的画廊，则画廊$(C_j, C_{j+1}, C'_2, \ldots, C'_{p-2}, C'_p)$最小为$\Gamma$的定义。从 (iv) 推出 $C_{j+1} \subset D$。矛盾。）