习题 24, § 1

结构化建筑是指配备集合 $\mathfrak{U}$ 子建筑满足以下条件的建筑$I$：

(SB 1) 子楼$A \in \mathfrak{U}$ 为公寓。

(SB 2) 任意两个I的室包含在$\mathscr{U}$的至少一个元素中。 (SB 3) 每当 $A_1, A_2 \in \mathscr{U}$ 使得 $A_1 \cap A_2$ 包含成为一个室时，就存在从 $A_1$ 到 $A_2$ 的同构，留下 $A_1 \cap A_2$ 的固定点。

令$(I, \mathscr{U})$为一座结构化建筑。 $\mathscr{U}$中的元素称为$(I, \mathscr{U})$的公寓，或简称为I的公寓。

a) 证明任意两个I的公寓是同构的。令C为I的房间，A为I包含C的公寓。证明存在I的唯一内同态$\rho$（称为I的中心C在A上的收回），使得$\rho(a) = a$对于所有$a \in A$并且对于任何公寓$A'$包含于 $\rho$ 到 $A'$ 的 C、限制是从 $A'$ 到 A 的同构（注，根据（SB 2）和练习 15 b），对于任何公寓 $A'$ 包含于 C，$A'$存在唯一的同构$\rho_{A'}$，而C的所有点固定）。显示 $\rho^2 = \rho$ 和 $\rho^{-1}(C) = C$。

b) 令 A 为 I 的公寓，$C_0$ 一个房间，F 为 A 中包含的一个面。令 $(C_0, C_1, \ldots, C_n)$ 为最小的可能的长度的画廊，使得 $F \subset C_n$。证明$C_i \subset A$对于$1 \leq i \leq n$（通过矛盾论证：如果$C_i \subset A$和$C_{i+1} \notin A$，考虑将I缩回到A上，其中中心不同于$C_i$和包含$C_i \cap C_{i+1}$）。

c) 令A为I的公寓，CA的房间，F为C的面板，$C'$为I的房间，$\Gamma = (C_0, \ldots, C_n = C')$为最小的可能的长度的画廊，使得$F \subset C_0$。表明将 I 的 $\rho$ 缩回到 A 上，并将中心 C 变换 $\Gamma$ 缩回到图库中

最小的可能的长度使得$F \subset C'_0$（考虑公寓$A'$包含于$C'$和F并应用b）并且事实上$\rho$到$A'$的限制是同构）。

d) 令 A 为公寓，$C_1$ 和 $C_2$ A 中包含的两个不同的相邻房间，$C'$ 一个房间包含 $C_1 \cap C_2$ 并且不同于 $C_1$ 和 $C_2$，以及 $A'_i$ 一个公寓包含 $C_i$ 和$C'$（对于$i = 1, 2$）。设 $\varphi_i$（分别为 $\psi_i$）为 I 到 A（分别为 $A'_i$）与中心 $C_i$（分别为 $C'$）的缩回，并令 $\rho_i$ 为限制 $\varphi_i \circ \psi_i$ 到 A。令 C 为 A 的一个房间；证明如果

然后对所有$a \in C$和$d(C, C_1) < d(C, C_2)$使用$\rho_1(a) = a$（考虑一个最小画廊$\Gamma$，其四肢为C和$C_1$并应用c）以表明$\rho_1(\Gamma)$是最小的；然后使用Exerc。 15 b))。证明，如果 $d(C, C_2) < d(C, C_1)$，则 $\rho_1(C) \neq C$ 和 $\rho_1^2(C) = \rho_1(C)$（取一个最小画廊 $\Gamma$，其四肢为 C 和 $C_2$，并使用 c）来表明 $\rho_1(\Gamma)$ 是一个由最小的组成的画廊，可能长度有一个一肢等于$\rho_1(C)$，另一肢包含$C_1 \cap C_2$；推断出$d(C_1, \rho_1(C_1)) \leq d(C_2, \rho_1(C_1))$）。

证明$\rho_i$是$A$的*折叠*（练习19）（证明$A = \rho_1(A) \cup \rho_2(A)$），并且定义是$A$的对合自同构$\sigma$，通过将$\sigma(a) = \rho_2(a)$放入$a \in \rho_1(A)$并且$\sigma(a) = \rho_1(a)$ 如果$a \in \rho_2(A)$；证明如果 $C$ 是$\rho_1(A)$ 中包含的房间，则$\rho_1^{-1}(C) = \{ C, \rho_2(C) \}$。

e) 令$I$为一座*宽敞的*结构建筑，也就是说每个面板都包含在至少三个房间中。证明存在一个 Coxeter 系统 $(W, S)$，直到同构为止唯一，使得$I$ 的公寓与与 $(W, S)$ 关联的公寓 $A_0$ 同构的（使用 $d$ 和 Exerc.19））。令$A$为$I$和$\varphi$同构从$A_0$到$A$的公寓。证明 $I$ 存在唯一编号，值在 $S$ 中，这样 $a$ 的型和 $\varphi(a)$ 对于所有 $a \in A_0$ 都是相等的（选择 $A$ 的房间 $C$ 并显示，通过使用$b$），如果$A'$和$A''$是$I$包含于$C$的两个公寓，$A'$和$A''$的编号扩展在$C$重合上确定$A' \cap A''$。

我们可以说 Coxeter 系统 $(W, S)$ 以及由此获得的编号“适应”到了 $I$。

证明a)中引入的退化是允许的自同态。证明$I$的公寓$A$中包含的$I$的子集在$I$中是凸的当且仅当它在$A$中是凸的（练习20）。

f) 我们保留e)中的记号，并令$\mathscr{U}$为从$A_0$到$I$的各个公寓的允许同构中的集合。证明，如果 $\varphi, \psi \in \mathscr{U}$ 且 $C$ 是一个腔室，并且 $F$ 包含在 $\varphi(A_0) \cap \psi(A_0)$ 中的 $I$ 的一个面，则存在元素 $w \in W$，使得 $\psi^{-1}(C) = w \varphi^{-1}(C)$ 和 $\psi^{-1}(F) = w \varphi^{-1}(F)$（考虑同构） $\lambda$从$\varphi(A_0)$到$\psi(A_0)$，保留$\varphi(A_0) \cap \psi(A_0)$的固定点，并应用Exerc 21 b)到自同构$\psi^{-1} \circ \lambda \circ \varphi^{-1}$$A_0$。