Bourbaki

习题 3, § 1

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李群与李代数, IV

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令(W,S)(W, S)为Coxeter系统，X,YX, Y为SS的两个子集。让a∈Wa \in W。证明存在最小长度中的唯一元素 w∈WXaWYw \in W_X a W_Y 并且每元素

w′∈WXaWY w' \in W_X a W_Y
可以用 x∈WX,y∈WYx \in W_X, y \in W_Y 和 l(w′)=l(x)+l(w)+l(y)l(w') = l(x) + l(w) + l(y) 写成形式 w′=xwyw' = x w y（在 WXaWYW_X a W_Y 中取最小长度的元素并使用练习 1）。如果元素w∈Ww \in W是双陪集WXaWYW_X a W_Y中最小长度的元素，则称其为(X,Y)(X, Y)约简。 证明如果 ww 是 (X,∅)(X, \varnothing) 约简，那么对于所有 x∈WXx \in W_X 来说，l(xw)=l(x)+l(w)l(x w) = l(x) + l(w)，并且 WW 中的每个元素都可以唯一地写成形式 xwx w，其中 x∈WXx \in W_X 和 ww 是(X,∅)(X, \varnothing)-减少。证明元素w∈Ww \in W是(X,∅)(X, \varnothing)约简当且仅当l(xw)>l(w)l(xw) > l(w)对于所有x∈Xx \in X（将ww写在形式yw′yw'中，其中y∈WXy \in W_X和w′w'是(X,∅)(X, \varnothing)-减少）。

证明w∈Ww \in W是(X,Y)(X, Y)约简当且仅当ww既是(X,∅)(X, \varnothing)约简又是(∅,Y)(\varnothing, Y)约简。

解答

尚未写出解答。

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