习题 4, § 1

设$n$为整数$\geq 2$。对于任何带有 $1 \leq i \leq n - 1$ 的整数 $i$，用$s_i$ 表示集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 中$i$ 和$i + 1$ 的转置，并用$w \in S_n$ 的$H_i$ 集合表示，使得$w^{-1}(i) < w^{-1}(i + 1)$；输入$S = \{s_1, \ldots, s_{n-1}\}$。证明 $(S_n, S)$ 是 Coxeter 系统，并且 $H_i$ 是 $w \in S_n$ 的集合，使得 $l(w) < l(s_i w)$（使用 no. 7 的第 6 条命题）。