习题 5, § 1

令 $X$ 为非空集合，$W$ 集合为置换为 $X$。假设在$X$、元素$x_0 \in X$和映射$\varphi : H \mapsto s_H$上给出等价关系的集合$\mathscr{R}$，从$\mathscr{R}$到$W$。用$H \in \mathscr{R}$的$\mathscr{R}_0$集合表示，使得$\mathscr{R}$中的所有$H' \neq H$表示$s_H(x_0) \equiv x_0 \mod. H'$，并用$s_H$的$S_0$集合表示$\mathscr{R}_0$中的$H$。我们制作以下假设：

(i) 对于任何$H \in \mathscr{R}$，有两个等价类模$H$，并由$s_H$和$s_H^2 = 1$排列。

(ii) 对于所有$H \in \mathscr{R}$和所有$w \in W$，$H$除$w$的变换$w(H)$是等价关系属于到$\mathscr{R}$和$s_{w(H)} = ws_Hw^{-1}$。

(iii) 对于$W$中的任何$w \neq 1$，$H \in \mathscr{R}$的集合，使得$w(x_0) \not\equiv x_0 \mod. H$是有限的并且满足$\mathscr{R}_0$。

a) 证明$(W, S_0)$是Coxeter系统（使用no. 7的第6条命题）。

b) 证明长度 $l_{S_0}(w)$ 等于数或元素 $H \in \mathscr{R}$，使得

c) 令$E$为$X$上总序关系的有限集合和$X$集合。 用$E$的置换$W$群表示，作用于$E$明显。 令$i$和$j$不同于$E$的元素；说 $X$ 的两个元素 $R$ 和 $R'$ 是等价的 mod。 $H_{ij}$，如果$R(i, j)$和$R'(i, j)$或$R(j, i)$和$R'(j, i)$；并用$s_{ij}$表示$i$和$j$的转置。 Let $\mathscr{R}$ be the set of equivalence relations of the form $H_{ij}$ and $\varphi$ the map from $\mathscr{R}$ to $W$ defined by $\varphi(H_{ij}) = s_{ij}$; finally let $x_0$ be an arbitrary element of $X$. 证明由此定义的对象满足假设(i)至(iii)，并恢复Exerc的结果。 4.