习题 21, § 2

设 A 为离散估值环（交换代数，第 VI, § 3, no. 6），m 为其最大理想值，m 的 $\gamma$ 生成元和 A 的分数的 K 域。设 G 为群 $\mathbf{SL}(2, K)$，B 子群 of G 由……组成 of 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，使得 $a, b, d \in A$ 和 $c \in m$（带有$ad - bc = 1$）以及矩阵属于的 N 子群由……组成为 G，并且在 G 中只有一个非零条目每行和列。

a) 证明$T = B \cap N$在$N$中是正规的，并且$W = N/T$是分别由矩阵、$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} 0 & \gamma \\ -\gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix}$的类、$s$和$s'$生成的无限二面角群。

b) 证明$(G, B, N, S)$（与$S = \{s, s'\}$）是山雀系统。

c) 设 $H = \mathbf{SL}(2, A)$ 为 $G$ 由……组成矩阵的子群，系数为 $A$。证明 $(H, B \cap H, N, \{s\})$ 是山雀系统。与 Exerc 进行比较。 18e).

d) 令 $\hat{A}$ 为 $A$ 的完成，并令 $\hat{G}, \hat{B}, \hat{N}, \hat{T}$ 为群，如上定义，但替换 $A$ 由 $\hat{A}$。显示 $G$ 的单射到 $\hat{G}$ 定义同构，从与 $(G, B)$ 关联的建筑物 $I$（练习 10）到与 $(\hat{G}, \hat{B})$ 关联的建筑物 $\hat{I}$。令$(I, \mathscr{U})$（或$(\hat{I}, \hat{\mathscr{U}})$）为与$(G, B, N)$（或$(\hat{G}, \hat{B}, \hat{N})$）伴随的*结构化*建筑物（练习12）：显示$j(\mathscr{U}) \subset \hat{\mathscr{U}}$，但如果$A \neq \hat{A}$（注公寓）则显示$j(\mathscr{U}) \neq \hat{\mathscr{U}}$ $\hat{\mathscr{U}}$（分别$\mathscr{U}$）对应通过$G$（分别$\hat{G}$）双射到$T$（分别$\hat{T}$）的共轭。