习题 26, § 2

如果 E 是交换域 k 上有限秩的绝对半单代数，则 E 的数值不变量是整数 (n_1, ..., n_r) 的序列，使得 n_1 ≥ ... ≥ n_r > 0 且 \bar{k} ⊗_k E 为同构，对于 k 的任意代数闭包 \bar{k}，到 $\prod_i M_{n_i}(\bar{k})$。

令V为环的积分，K为分数的域，从V到交换域k的φ同态，以及E为V-代数。假设 E 是有限秩的自由 V 模，并设 E_0 = E ⊗_V k 且 E_1 = E ⊗_V K。

a) 假设 E_0 上的双线性形式 (x, y) ↦ Tr_{E_0/k}(xy) 是非简并的。证明 E_0 和 E_1 绝对是半单（cf. 代数，第 IX, § 2 章，练习 1）。

b) 假设 E_0 和 E_1 分别相对于 k 和 K 绝对半单。证明 E_0 和 E_1 具有相同的数值不变量（约化对于 k 和 K 代数闭的情况）；令 (e_i) 为 E 在 V 上的基并且

令 $(X_i)$ 不确定。证明$E_1 \otimes_K K[(X_i)]$（或$E_0 \otimes_k k[(X_i)]$）的元素$\sum_i X_i e_i$的特征多项式为形式$P = \prod_j P_j^{n_j}$（或$Q = \prod_k Q_k^{m_k}$），其中$(n_1, \ldots, n_r)$（或$(m_1, \ldots, m_s)$）是$E_1$的数值不变量（分别$E_0$），与$\deg(P_j) = n_j$（分别$\deg(Q_k) = m_k$）。显示 $P_j \in V[(X_i)]$ 和 $Q = \varphi(P)$。推断存在整数 $c_{jk} \geq 0$ 使得