习题 11, § 2

令 G 为紧李群。如果 G 的子群 S 等于型 (C)，则它等于在其归一化器中为有限指标的循环子群的闭包。

a) 设 S 为型 (C) 中的子群；证明$S_0$是$G_0$的最大环面，并且S是$S_0$的直接乘积和有限循环子群。

b) 证明G的每个元素$g$都包含在型（C）的子群中（考虑由$g$生成的群和$Z(g)_0$的最大环面）。

$^{11}$对于此定理中的证明，请参阅例 S. LEFSCHETZ、交和

复合体和流形的变换，Trans。阿米尔。数学。苏克。 28（1926），

第 1-49 页。 c) 令 S 为型 (C) 的子群，以及 S 的 $s$ 元素，其中幂的集合在 S 中是稠密的。证明 $sG_0$ 的每个元素都是共轭 Int(G$_0$) 到 $sS_0$ 的元素（使用练习 10 的方法）。

d) 用$p: G\rightarrow G/G_0$表示商映射。表明从型G子群共轭类集合(C)到循环共轭类集合映射$S \rightarrow p(S)$诱导双射子群共 $G/G_0$。

e) 令 S 为型 (C) 的 G 子群；用S的元素的$S_{\rho}$集合表示，其$S/S_0$生成$S/S_0$中的类。证明G中共轭的$S_{\rho}$中的两个元素在$N_G(S)$中是共轭。