习题 2, § 3

用 K 表示域 $\mathbf{R},\mathbf{C}$ 或 $\mathbf{H}$ 之一，并用 $n$ 整数 $\geq 1$ 表示。给空间$K^n_s$通常的厄米特形式。

a) 证明$\mathbf{U}(n,K)$是紧实李群。

b) 证明 $K^n_s$ 中半径为 1 的球体对于 $\mathbf{U}(n,K)$ 是（实）齐次李空间； 点的固定器与$\mathbf{U}(n-1,K)$同构的。

c) 推断群$\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$和$\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$是连通的，并且$\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$有两个连通分量。

d) 证明群 $\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ 和 $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ 是连通的。

e) 证明群 $\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$（分别为 $\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$）是 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$（分别为 $\mathbf{T}$）乘以 $\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$（分别为 $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$）的半直接乘积。