习题 5, § 3

对于$n$整数$\geq 1$，用自旋$(n,\mathbf{R})$表示与$\mathbf{R}^n($代数上的通常二次形式相关的简化Clifford群，第1章。 IX, §9, no. 5）。

a) 表明 自旋$(n,\mathbf{R})$ 是紧李群并且满同态 $\varphi :$ 自旋$(n,\mathbf{R})\rightarrow \mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R}) ($loc。引）是分析性的，具有核 $\{+1,-1\}$。

b) 证明，对于 $n\geq 2$，自旋$(n,\mathbf{R})$ 是连通且单连通的（使用练习 2）。 群$\pi_1(\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R}))$是阶2的循环。

c) 设 $Z_n$ 为 自旋$(n,\mathbf{R})$ 的中心。如果$n$是奇数则表示$Z_n=\{+1,-1\}$，如果$n$是偶数则$Z_n=\{+1,-1, \varepsilon ,-\varepsilon \}$，其中$\varepsilon =e_1. . . e_n$是$\mathbf{R}^n$典范基元素乘积；如果 $r$ 是偶数（或奇数），则群 $Z_{2r}$ 同构于 $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^2$（分别与 $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$）。

d) 证明型 $B_n$ $(n\geq 2)$ 的每个近单连通紧李群都同构于 Spin$(2n+ 1,\mathbf{R})$ 或 $\mathbf{S}\mathbf{O}(2n+ 1,\mathbf{R})$。

e) 如果 $r$ 是奇数（或偶数）且 $\geq 2$，型 $D_r$ 的每个近单连通紧李群同构于 自旋$(2r,\mathbf{R}),\mathbf{S}\mathbf{O}(2r,\mathbf{R})$ 或 $\mathbf{S}\mathbf{O}(2r,\mathbf{R})/\{\pm I_{2r}\}$（分别与前面的群或旋转$(2r,\mathbf{R})/\{1, \varepsilon \}$)。