习题 7, § 3

设 A 为凯莱八元数的代数（代数，第 III，应用程序，no. 3），其中基 $(e_i)_{0\leq i\leq 7}$ 为 loc。引用。用 $e_1, . . . , e_7$ 生成的纯八元数的 V 子空间表示，并用 $e_1, e_2, e_3, e_5, e_6, e_7$ 生成的 V 的 E 子空间表示。由$e_0, e_4$与复数的域$\mathbf{C}$生成A的认同子代数，并用G表示单位代数A的自同构的拓扑群。

a) 用 Q 表示凯莱范数在 V 上导出的二次形式，因此 $(e_i)_{1\leq i\leq 7}$ 是 V 的正交基。证明从G到群$\mathbf{S}\mathbf{O}$(Q)，映射$\sigma \rightarrow \sigma |V$是单同态，与$\mathbf{S}\mathbf{O}(7,\mathbf{R})$同构。

b) 证明 A 的乘法给出维数 3 的 $\mathbf{C}$ 向量空间的 E 结构，其中 $\{e_1, e_2, e_3\}$ 是基。在 E 上用 $\Phi$ 厄米特形式表示，其中基是正交的。设H为G中$e_4$的固定子。证明从H到群$\mathbf{S}\mathbf{U}(\Phi )$，映射$\sigma \rightarrow \sigma |E$是同构，与$\mathbf{S}\mathbf{U}(3,\mathbf{C})$同构。 映射 $\sigma \rightarrow \sigma (e_4)$ 诱导 $G/H$ 在 V 球体中的嵌入，与 $\mathbf{S}_6$ 同构。 c) 令 T 为自同构 $\sigma$ 的 H 由……组成中的环面，使得 $\sigma (e_0) =e_0,\sigma (e_1) =\alpha e_1,\sigma (e_2) =\beta e_2,\sigma (e_3) =\gamma e_3,\sigma (e_4) =e_4,\sigma (e_5) =$ $\overline{\alpha e}_5,\sigma (e_6) = \overline{\beta e}_6,\sigma (e_7) = \overline{\gamma e}_7$，其中 $\alpha , \beta , \gamma$ 是模数 1 的三个复数，从而$\alpha \beta \gamma = 1$。令 N 为 G 中 T 的归一化项；表明 $N/T$ 是阶 12（注 N 的每个元素必须稳定 $\pm e_i,i\not= 0$ 的集合）；推导出 G 为秩 2。

d) 证明 G 与型 $G_2$ 的半单相连，$G/H$ 可以与 $\mathbf{S}_6$ 识别（证明 $G_0\not= H$；推导出 $G_0$ 属于型 $G_2$，然后使用维数论证）。 型 $G_2$ 的每个紧致群与 G 同构。