习题 9, § 3

设$\mathfrak{g}$为$\mathfrak{g}$的紧李代数、$\mathfrak{t}$嘉当子代数；令$(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$是分裂的还原代数$(\mathfrak{g}_{\mathbf{C}},\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$中的Chevalley系统，使得对于所有$\alpha \in R$，$X_{\alpha}$和$X_{-\alpha}$是共轭（相对于$\mathfrak{g}$）。

a) 令 $\mathscr{T}$ 为$\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ 包含 $iH_{\alpha}(\alpha \in R)$ 的$\mathbf{Z}$ 子模块，并且$\alpha (\mathscr{T})\subset \mathbf{Z}i$ 对于所有$\alpha \in R$。证明由$\mathscr{T}$、元素、$u_{\alpha}$和$v_{\alpha}(\alpha \in R)$生成的$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$的$\mathbf{Z}$-子模块$\mathscr{G}$是$\mathfrak{g}$的$\mathbf{Z}$-谎言子代数。

b) 假设$\mathfrak{g}$（或$\mathfrak{t}$）是紧凑群 G 的李代数（或G 的最大环面 T）。令 $\Gamma (T)$ 为同态 exp$_T:\mathfrak{t}\rightarrow T$ 的核。证明$\mathbf{Z}$-模$(2\pi )^{-1}\Gamma (T)$满足a)的假设。

c) 令$\langle ,\rangle$为$\mathfrak{g}$上的不变标量乘积；当$\mathfrak{g}$（分别$\mathfrak{t}$）被识别为空间$\mathbf{R}^n$时，令$\mu$（分别$\tau$）为$\mathfrak{g}$（分别$\mathfrak{t}$）相应的的哈尔测度到勒贝格测度正交基。还用 $\mu$（分别为 $\tau$）表示 $\mathfrak{g}/\mathscr{G}$（分别为 $\mathfrak{t}/\mathscr{T}$）的度量，即 $\mu$（分别为 $\tau$）除以 $\mathscr{G}$（分别为 $\mathscr{T}$）的归一化 Haar 度量的商。证明公式$\mu(\mathfrak{g}/\mathscr{G}) =\tau (\mathfrak{t}/\mathscr{T}).\prod_{\alpha\in R_+}\langle iH_{\alpha},iH_{\alpha}\rangle$。