习题 13, § 4

a) $R(G,T)$的选择基B，并用$R(G,T)$的正根的$R_+$集合表示。证明 $z_G=\prod_{\alpha\in R_+}$ exp($\frac{1}{2}K_{\alpha}$) 是 C(G) 的元素，

独立于 T 和 B 的选择；我们有$z_G^2=e$。

b) 令 H 另一个连接紧李群。然后$z_{G\times H}= (z_G, z_H)$；证明，如果$f: G\rightarrow H$是李群的满射态射，则$f(z_G) =$$z_H$。

c)放入$R = R(G,T)$；假设G是单连通的，则X(T)可以等同于P(R)。证明从X(T)到$\{1,-1\}$的同态$\chi \rightarrow \chi (z_G)$的核是Exerc中定义的子群$P'(R)$。第8章。 VI, §1。

d) 如果$G =\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$，则$z_G= (-1)^{n+1}I_n$；

如果$G =\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$，则$z_G=-I_n$；

如果 G = 自旋$(n,\mathbf{R})$ 且 $n\equiv 3,4,5$ 或 6 (mod 8)，则 $z_G=-1$；

如果 G = 自旋$(n,\mathbf{R})$ 且 $n\equiv 0,1,2,7$ (mod 8)，则 $z_G= 1$；

如果 G 为型 $E_6,E_8,F_4$ 或 $G_2$，则 $z_G=e$；

如果G是型$E_7$的单连通，则$z_G$是C(G)的唯一非恒等元。

（使用第 VI, §4 章，练习 5。）