习题 15, § 4

设 H 是 G 的一个连通闭子群。如果 H 不包含在与 G 不同的最大秩的任何连通闭子群中，则称 H 是干净的。

a) 证明 H 是干净的当且仅当其在 G 中的中心化器等于C(G)。特别是，如果 H 是干净的，则 $C(H) = C(G)\cap H$。

b) 假设从现在开始H 是干净的。证明，对于 H 的每个最大环面 S，我们都有 $C(H) = S\cap C(G)$。

c) 设$H'$为G包含H的连通闭子群。证明rk$H<$rk$H'$，并推论H在$H'$中是干净的。

d) 令 K 为 H 的连通闭子群，在 H 中是干净的，并且在 G 中是干净的包含正则元素。证明 K 在 G 中是干净的。