习题 20, § 4

假设群 G 几乎是简单的；设 H 是 G 的主子群，秩$\geq 2$。

a) 证明 H 是型 $B_h,C_h,F_4$ 或 $G_2$ 的半单（使用练习 19）。

b) 假设H为秩$\geq 3$。证明 G 属于型 $A_l,D_l,E_6,E_7$ 或 $E_8$（考虑 $R(G,T)$ 的 Dynkin 图的终端顶点，并应用练习. 19）。

c) 表明，如果 rk $H\geq 3$，我们处于以下情况之一：

G为型$A_{2l}(l\geq 3)$，H为型$B_l$；

G为型$A_{2l-1}(l\geq 3)$，H为型$C_l$；

G为型$D_l(l\geq 4)$，H为型$B_{l-1}$；

G为型$E_6$，H为型$F_4$。

d) 证明，如果 H 为型 $B_2$，则 G 为型 $A_3$ 或 $A_4$。

e) 证明，如果 H 为型 $G_2$，则 G 为型 $B_3,D_4$ 或 $A_6$。

（有关这些情况的更明确的描述，请参阅§5，练习 5。）

f) 令 K 为 G 包含 H 的连通闭子群；证明 K = G 或 K = H，或者 H 为型 $G_2, K$ 型 $B_3$，G 为型 $D_4$ 或 $A_6$。