习题 8, § 4

设H是G的最大秩、$\mathfrak{h}$其李代数、X流形$G/H$和VX在点的切线空间的连通闭子群 H 的相应的至类； 认同 V 与商 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$。

a) 如果 $j$ 是 X 上的近复数结构（可微且解析流形，结果，8.8.3），则用复数向量空间 $\mathbf{C}\otimes V$ 由……组成的 $V''(j)$ 子空间表示元素$u$使得$j(u) =-iu$，并且通过$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$的$\mathfrak{q}(j)$子空间即$V''(j)$的逆像，因此规范映射$V\rightarrow \mathfrak{g}_{\mathbf{C}}/\mathfrak{q}(j)$是$\mathbf{C}$线性当V被赋予由$j$诱导的$\mathbf{C}$向量空间结构时，同构的。证明映射$j \rightarrow \mathfrak{q}(j)$是从G下X上的近复数结构的集合到$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$满足的复数子空间$\mathfrak{p}$的集合不变量双射以下条件：

b) X上存在这样的结构当且仅当H在V上的伴随物表示的不可约子表示的交换域都同构于$\mathbf{C}$；在这种情况下，存在$2^s$这样的结构，其中$s$是V的不可约子表示的数（使用练习7）。

c) 令$j$为X上的近复数结构，在G下不变，且$\mathfrak{p}=$$\mathfrak{q}(j)$相关的子空间。那么，$j$ 是可积的（即，与 X、cf. 可微分和解析流形，结果，8.8.5 到 8.8.8 上的复解析流形结构关联）当且仅当 $\mathfrak{p}$ 满足条件

d) 当且仅当 H 是 G 中环面的中心化子时，G 下X不变量上存在复数结构（即可积近复数结构）（证明上面条件（1）到（4）意味着$\mathfrak{p}$是抛物线子代数） $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$（第VIII, §3, no. 5））；在这种情况下，这些复数结构对应双射于$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$的抛物线子代数$\mathfrak{p}$，即$\mathfrak{h}_{\mathbf{C}}$的直和及其单能根（cf.第VIII, §3, no. 4）。

e) 证明G下$G/T$不变量上恰好存在Card(W)复形结构；如果$\sigma$和$\sigma '$是两个这样的结构，则存在唯一元素$w\in W$，使得$w$在$G/T$上的规范运算（由内自同构）变换$\sigma$变成$\sigma '$。如果$w$是W的非单位元，则$G/T$上$w$的运算对于G下的$G/T$不变量上的任何复数结构来说不是$\mathbf{C}$解析。

f) 确定 $\mathbf{S}\mathbf{O}(3)$ 下$\mathbf{S}^2$ 不变量的复数结构。

$g)^*$ 与记号的锻炼。 $8d)$，令$G_c$为G和P的复化，即$G_c$与李代数$\mathfrak{p}$的复数Lie子群。证明规范映射 $G/H\rightarrow G_c/P$ 是复解析流形的同构。\*