习题 6, § 5

假设 G 是单连通的。令$p$为C(G)的素数数和$g$元素，使得$g^p=e$。

a) 证明存在元素 $u\in T$ 和 $w\in W$ 使得

(i) $w(u)u^{-1}=g$；

(ii) $w^p= 1$；

(iii) 如果$p\not= 2,u^p=e$则为$u^p=e$，如果$p= 2$则为$g$。

（令 A 为 $\mathfrak{t}$ 中的凹室；对于 $i= 0,1, . . . , p-1$，令 $x_i\in \overline{A}$ 满足 exp $x_i=g^i$。将 $u$ 设为元素 exp $x$，其中 $x$ 为 $\overline{A}$ 面的重心其顶点是 W 的 $x_i$，且 $w$ 为元素，使得 $w(A) = A-x.$)

b) 证明存在$u\in T$和$v\in N_G(T)$使得

(i) $vuv^{-1}u^{-1}=g$；

(ii) 如果$p\not= 2,v^p=e$则为$v^p=e$，或者如果$p= 2$则为$g$；

(iii) 如果$p\not= 2,u^p=e$，则$u^p=e$；如果$p= 2$，则$g$。

（在$a$中使用构造），将$w$提升到$n_w$，如Exerc中所示。 §4 中的 12 个；取 $v=n^{p+1}_w$ 如果$p\not= 2,v=n_w$ 如果$p= 2.)$