习题 2, § 6

令 V 为 $\mathbf{R}$ 上的有限维实希尔伯特空间。给出 V 上的多项式空间 $\mathbf{S}(V^*)$ 拓扑向量空间第 1 章中定义的标量乘积。 V, §3, no. 3、公式 (13) 和 (14)（cf. 练习 1）。用 $\gamma$ 表示 V 上的规范高斯测度（积分，第 IX, §6 章，第 4 至 6 项）；因此，如果 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 是 $V^*$ 的正交基，则我们有 $d\gamma (x) =$ $(2\pi )^{-n/2}e^{-(x|x)/2}dx_1. . . dx_n$。

a) 令$q$为$\mathbf{S}^2(V)$的元素，定义是$V^*$上的标量乘积，并令$\Delta :\mathbf{S}(V^*)\rightarrow \mathbf{S}(V^*)$为通过将内部乘积与$q($代数取而得的运算符，第一章III, §11, no. 9）。证明，对于每个正交基

$V^*$ 的 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 和每个多项式 $P\in \mathbf{S}(V^*)$，我们有 $\Delta (P) =\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2P}{\partial x_i^2}$。

b) 对于$P\in \mathbf{S}(V^*)$，放入$P^*= P*\gamma$，这样$P^*(x) =\int_VP(x-y)d\gamma (y)$就为

$x\in V$。证明等式$P^*=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Delta^n(P)}{n!}=e^{\Delta}(P)$。

（约化至证明类似的公式函数 $x \rightarrow e^{i(x|u)}$，$u\in V.$）

c) 证明$\mathbf{S}(V^*)$中的P和Q公式$\int P^*(ix)Q^*(ix)d\gamma (x) = (P|Q)$（用$\mathbf{S}_{\mathbf{C}}((V\otimes \mathbf{C})^*)$的子空间来识别）。

d) 如果 P 是 V 上的齐次多项式，使得 $\Delta (P) = 0$，则$\int_VP(x)^2d\gamma (x) = (P|P)$。

e) 设W为反射生成的有限群 / 自同构 / V；用 H 集合表示 W 中的反射。对于 $h\in H$，令 $e_h\in V$ 和 $f_h\in V^*$ 使得 $h(x) =x+f_h(x)e_h$。证明多项式 $P =\prod_{h\in H}f_h$ 满足 $\Delta (P) = 0$（使用第 V, §5, no. 4 章，命题 5）。