习题 5, § 6

用 H(G) 表示分级 $\mathbf{R}$-代数 $H(\Omega (G))$（cf. 练习 4）。

a) 空间 $H^p(G)$ 对于 $p > n$ 来说是零，对于 $p=n$ 和 $p= 0$ 来说，维数是一个。 空间 $H^1(G)$ 可以用 $\mathfrak{c}^*$ 进行规范识别，其中 $\mathfrak{c}= L(C(G))$。

b) 假设从现在开始G是半单。显示 $H^1(G) = H^2(G) = 0$（cf. 第 I, §6 章，练习 1）。

c) 用$\mathfrak{g}$上G不变对称双线性形式的$B(\mathfrak{g})$空间表示；对于 $\mathfrak{g}$ 中的 $b\in B(\mathfrak{g})$ 和 $x, y, z$，请输入 $\widetilde{b}(x, y, z) =b([x, y], z)$。证明映射$b \rightarrow \widetilde{b}$定义同构从$B(\mathfrak{g})$到$H^3(G)$（设$\omega \in H^3(G)$；证明，对于所有$x\in \mathfrak{g}$，在$\mathfrak{g}$上存在唯一的线性形式$f(x)$）这样$df(x) =i(x)\omega$，并考虑形式$(x, y) \rightarrow -\langle y, f(x)\rangle$）。

d) 证明$\mathbf{R}$向量空间$H^3(G)$的维数等于$\mathfrak{g}$简单理想的数。