习题 3, § 7

令$G =\mathbf{S}\mathbf{O}(2l,\mathbf{R})$，与$l\geq 2$；我们使用Exerc的记号。 2 个§4。用标量的扩张从恒等式表示获得的$\mathbf{C}^{2l}$上的G的$\sigma$表示表示。

a) $\mathbf{Z}$-模块X(T) 有基 $\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_l$。

b) 用$\mathbf{Z}[X(T)]$的$\eta_i$元素$e^{\varepsilon_i}+e^{-\varepsilon_i}$和$\delta$元素表示

$\prod_{i=1}^l(e^{\varepsilon_i}-e^{-\varepsilon_i})$。证明$\mathbf{Z}[X(T)]^W$的每个元素都可以写成

$P(\eta_1, . . . , \eta_l) + Q(\eta_1, . . . , \eta_l)\delta$，其中 P 和 Q 是 $l$ 变量中的对称多项式，系数为 $\frac{1}{2}\mathbf{Z}$。

c) 证明表示$\wedge \wedge^r\sigma$对于$r\not=l$是不可约的； 表示$\wedge \wedge^l\sigma$分别是最高权$2\varpi_l$和$2\varpi_{l-1}$的两个子表示$\tau^+$和$\tau^-$的直和（参见第VIII, §13章，练习10）。

d) 表明，对于 $r\leq l$，元素 Ch($\wedge \wedge^r\sigma$ ) 由 Exerc 中的公式给出。 $2c)$ 还有那个

Ch($\tau^+$) $=\frac{1}{2}(\delta +$ Ch($\wedge \wedge^l\sigma$)) Ch($\tau^-$) $=\frac{1}{2}(-\delta +$ Ch($\wedge \wedge^l\sigma$))。

e) 证明同态$u:\mathbf{Z}[X_1, . . . ,X_l; Y]\rightarrow R(G)$使得$u(X_i) = [\wedge \wedge^i\sigma ]$和$u(Y) = [\tau^+]$是满射，并且它的核是由$Y^2-$YX$_l+ A$和$A\in \mathbf{Z}[X_1, . . . ,X_l]$生成的。