习题 7, § 7

令$\tau : G\rightarrow \mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$为G的实酉表示；用 $\varphi :$ 自旋$(n,\mathbf{R})\rightarrow \mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ 表示规范的双覆盖。如果存在态射 $\widetilde{\tau}: G\rightarrow$ 自旋$(n,\mathbf{R})$ 使得 $\varphi \circ \widetilde{\tau}=\tau$，则 $\tau$ 被称为旋数。

a) 设$\Sigma$为$P(T, \tau )$的子集，使得$\Sigma \cup (-\Sigma ) = P(T, \tau )$和$\Sigma \cap (-\Sigma ) =\emptyset$；用$\Sigma$的元素的$\omega_{\Sigma}$和表示。 $X(T)/2X(T)$中$\omega_{\Sigma}$的类$\varpi$独立于$\Sigma$的选择。证明$\tau$是旋数当且仅当$\varpi = 0$。 b) 证明$\rho \in X(T)$当且仅当伴随表示是旋数。