习题 1, § 2

令K为交换环和单位元，令E为A-模，并令$E^*$为其对偶。从$E \otimes E^*$到$\mathrm{End}(E)$用$\varphi$典范同态表示。

a) 与形式的 $\mathrm{End}(E)$ 中的 1 不同的任意元素

与$x \in E$和$y^* \in E^*$一起，在E中被称为“伪反射”。如果可以选择$x$和$y^*$使得$\langle x, y^* \rangle = 2$，则这样的元素被称为反射；表明我们有 $s^2 = 1$ 和 $s(x) = -x$。

b) 令$x \in E, \ y^* \in E^*$ 使得$\langle x, y^* \rangle = 1$。证明E是由$x$和$y^*$的正交补集H生成的子模$Kx$的直和。证明 $Kx$ 与基 $x$ 是自由的，并且 $s = s_{2x, y^*}$ 在 H 上等于 1，在 $Kx$ 上等于 $-1$。